El curioso incidente del Perro Grullo

Recientemente ha caido en mis pezuñas un interesante libro: El curioso incidente del perro a medianoche (Mark Haddon). Interesante y de fácil lectura. Trata de un chaval de 15 años que: “conoce las capitales de todos los países del mundo, puede explicar la teoría de la relatividad y recitar los números primos hasta el 7.507 pero le cuesta relacionarse con otros seres humanos. Le gustan las listas, los esquemas y la verdad, pero odia el amarillo, el marrón y el contacto físico”  (sacado de la contraportada).

Pero esto no viene al caso, o tal vez sí.

En el libro se explica un problema matemático llamado Problema de Monty Hall. Así se explica el planteamiento en la Wikipedia:

Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:

• Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.
• Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado.
• Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?

Os propongo que respondáis a la pregunta sin darle demasiadas vueltas en los comentarios y antes de pulsar el [ver +]

Tras leer vuestras entradas y comentarios en éste vuestro blog  deduzco que algunos tenéis formación matemática de alto nivel (además del conocimiento cierto que no viene al caso). Por favor no os extendáis en formulaciones completas que puedan mediatizar la opinión inicial de otros lectores (que deberían escribir su opinión tratando de no leer comentarios previos…). Al menos durante el día de hoy estaría bien limitar los comentarios a la pregunta del enunciado del problema, luego ya podremos criticar opiniones ajenas, usos del lenguaje y elecciones de nick… 

Supongo que nadie me habrá hecho caso, y estás leyendo esto cuando no deberías. Yo también lo habría hecho, y este tipo de conducta es la que me hizo dudar de la solución oficial al problema (la comprendo, se que es correcta, pero me cuesta compartirla sin peros) y buscarle limitaciones de aplicación cotidiana.

Cierto es que, haciendo honor a  mi nombre, no descubro nada nuevo, la limitación de la solución viene impuesta por los supuestos previos establecidos por los matemáticos que proponen la solución. Al menos la solución que he visto más extendida en internet y que es la que da el libro:

Vuelvo a la wikipedia:

Esta solución se basa en tres suposiciones básicas:

·         que el presentador siempre abre una puerta,

·         que la escoge entre las restantes después de que el concursante escoja la suya,

·         y que tras ella siempre hay una cabra.

Estas suposiciones no se encuentran explícitamente en el enunciado. Yo añadiría como suposición previa, que la cadena de TV que paga el coche se ha cerciorado de que el concursante ha entendido bien estos supuestos…

Una solución que he sacado de otra página que no recuerdo explica gráficamente:

La wikipedia:

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar siempre su elección.

De un documento colgado en internet saco una explicación que da Alejandro D. Zylberberg. Está hablando de un problema análogo con vasos y monedas, confío en vuestra capacidad para extrapolar conclusiones al ejemplo de las puertas:

Otra forma simple de verlo es decir que la probabilidad de que el jugador acierte en su primera elección es 1/3, y consiguientemente el otro 2/3 queda asignado al conjunto de los dos vasos no elegidos. Luego, cuando el organizador descubre uno de los vasos no elegidos, la probabilidad 2/3 del conjunto de no elegidos queda concentrada en el vaso restante. Enconclusión, la probabilidad de ganar si no se cambia la elección es 1/3, y si se cambia es 2/3.En este momento, hay una alta probabilidad de que Ud. esté pensando: después de que el organizador muestra un vaso, quedan dos vasos, y la moneda está debajo de uno de ellos. Por lo tanto, es un 50 y 50. Sin embargo, eso es falso, por el siguiente motivo:Cuando el organizador elige cuál vaso levantar, no necesariamente está eligiendo libremente. Si el jugador acertó con su elección original, el organizador puede levantar cualquiera de los otros dos vasos. Pero si el jugador no acertó inicialmente, de los dos vasos restantes hay uno que esconde la moneda, por lo cual el organizador está obligado a levantar el único de los dos restantes que no esconde la moneda. Consecuentemente, no es 50 y 50 porque el jugador está potencialmente forzando al organizador a levantar un determinado vaso. 

La probabilidad sería 50 y 50 solamente para una persona que no conoce la elección original del jugador y que ingresa a la habitación después de que el organizador ya ha levantado un vaso. Para esa persona, la probabilidad es 50 y 50 porque la única información que tiene es que hay una moneda debajo de uno de dos vasos que hay en la mesa. Pero para el jugador la probabilidad no es 50 y 50 porque tiene más información: conoce su elección original y sabe que es posible que haya forzado al organizador a levantar el vaso que levantó. 

La información en negrita, me ha levantado dolor de cabeza. Recordemos que soy un perro y no tengo una conciencia muy desarrollada del yo. El YO sé mi elección inicial, YO sé que puedo haber forzado al presentador… Me temo que ante tal situación me sentiría cómo el recién llegado, vería dos cajas y me daría igual cambiar o no. Además como perro parlante me sorprende la capacidad de la probabilidad para cambiar dependiendo del conocimiento subjetivo de una entidad corpórea…

Quizá este Alejandro se equivoca con esta afirmación, o quizá, y es lo que me temo la estadística habla en un lenguaje formal lejano a mi conocimiento léxico y afectivo del as situaciones. Yo estaría pensando: el cabrón del presentador me quiere engañar, que el coche es muy caro y seguro él tiene un criadero de cabras que surte a los productores del programa. Aunque eso sí, me parece haber entendido que si me ha quedado claro que  el presentador está en la obligación de ofrecerme un cambio de puerta todo esto daría igual.

Por otro lado a mí que me importa que 66 de cada cien veces sea mejor cambiar. ¡Yo sólo voy a jugar una!

Ahora sí letrados numéricos  antipáticos, antipáticos letrados numéricos: ¡sacadme de mi escepticismo estadístico¡ Ayudadme a vivir y elegir según los designios de la lógica. Que muera mi intución y que viva Pitágoras.

 

El perro Grullo